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统计信号处理基础 习题解答6-7

发布时间:2022/11/12 17:35:25

题目:

假定观察到 ,其中 零均值协方差矩阵为C 的噪声(PDF未知)。幅度A是待估计量,求BLUE。如果讨论C 的特征矢量为 会发生什么情况?同时求最小方差


解答:

显然有

与待估计量A 有线性关系。

根据BLUE性质,得到:

根据题目条件,sC 的特征向量,因此满足:

当特征值λ≠0 时,两边都乘 后得到:

即:

s 也是 的特征向量,此时特征值为

考虑到 是单个元素,因此也可以表示成:

此时的方差满足:

在这种情况下,我们得到了 类似的结果。

物理意义

设计了一个电压放大器,对输入信号进行线性放大,现在需要估计放大器的增益。估计时,需要在放大器输入端加测试信号序列s ,此时在放大器的输出端观测到的输出信号序列为x ,同时观测的时候,会引入噪声序列w .

因此存在:

此时的问题是激励信号序列s 如何选取,不同的选取对估计量的方差是否有影响。

此题目对应的条件是:

此时,噪声协方差矩阵的特征值 ,对应的特征向量为任意非零向量。

因此,任意激励信号s 都是噪声协方差矩阵的特征向量,且特征值为

另外,我们可以用 估计输入信号的功率,结合此题的计算结果,放大器增益的BLUE估计为:

该估计量的方差为:

也就是通过提高测试信号的输入功率,即提高测试信号的信噪比,降低估计量的方差。

通常情况下,模拟电路估计信号增益时,s 可以采用正弦信号。

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