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零点定理习题

发布时间:2022/11/20 13:42:33

零点定理

证明方程 x 5 − 5 x + 1 = 0 x^5-5x+1=0 x55x+1=0有且仅有一个小于 1 1 1的正实根。

解:
\qquad F ( x ) = x 5 − 5 x + 1 F(x)=x^5-5x+1 F(x)=x55x+1

∵ F ( 0 ) = 1 > 0 , F ( 1 ) = − 3 < 0 \qquad \because F(0)=1>0,F(1)=-3<0 F(0)=1>0,F(1)=3<0

∴ F ( 0 ) ⋅ F ( 1 ) < 0 \qquad \therefore F(0)\cdot F(1)<0 F(0)F(1)<0

∵ F ( x ) \qquad \because F(x) F(x) [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上连续, F ( 0 ) ⋅ F ( 1 ) < 0 F(0)\cdot F(1)<0 F(0)F(1)<0

\qquad 由连续函数的零点定理得 ∃ ξ ∈ ( 0 , 1 ) \exist \xi \in (0,1) ξ(0,1),使得 F ( ξ ) = 0 F(\xi)=0 F(ξ)=0

\qquad ∵ F ′ ( x ) = 5 x 4 − 5 \because F'(x)=5x^4-5 F(x)=5x45,在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上始终有 F ′ ( x ) < 0 F'(x)<0 F(x)<0

\qquad F ( x ) F(x) F(x) ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上单调递减

∴ \qquad \therefore 方程 x 5 − 5 x + 1 = 0 x^5-5x+1=0 x55x+1=0有且仅有一个小于 1 1 1的正实根


总结

遇到这一类题目,先构造一个函数 F ( x ) F(x) F(x),求 F ( x ) F(x) F(x)的零点,在证明单调性即可解题。

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