[素数筛][容斥原理]：埃拉托斯特尼筛法

2023/11/30 9:23:54

求解问题：不超过一个给定正整数N的素数的个数

方法介绍：

根据合数的性质：一个合数可以被一个不超过它的平方根的素数整除

这里举例N=100：

介绍：为了找出不超过100的素数个数，首先根据合数的性质可以知道：100的合数一定有一个不超过10的素因子。因为小于10的素数仅有：2，3，5，7，因此不超过100的素数就是这4个素数以及那些大于1和不超过100且不被2，3，5，7整除的正整数。

应用容斥原理：我们令P1：整数能被2整除 P2：整数能被3整除 P3：整数能被5整除 P4：整数能被7整除。

于是答案就是： $4+N[{P1}'{P2}'{P3}'{P4}']$

关于 $N[{P1}'{P2}'{P3}'{P4}']$ 解释：同时不满足P1，P2，P3，P4性质的个数

ps：已知结论：在1-N之间，有 $\left \lfloor \frac{N}{x} \right \rfloor$ 个能被x整除的数

由于存在99个比1大且不超过100的正整数，所以由容斥原理说明：

$N[{P1}'{P2}'{P3}'{P4}']=99-N[P1]-N[P2]-N[P3]-N[P4]+N[P1P2]+N[P1P3]+N[P1P4]+N[P2P3]+N[P2P4]+N[P3P4]-N[P1P2P3]-N[P1P2P4]-N[P1P3P4]-N[P2P3P4]+N[P1P2P3P4]$

不超过100（且大于1）并被{2,3,5,7}的子集中的所有素数整除的正整数个数是 $\left \lfloor \frac{100}{N} \right \rfloor$ ，其中N是这个子集中的素数之积。（因为任意两个素数都没有公因子）。因此：

$N[{P1}'{P2}'{P3}'{P4}']=99-\left \lfloor \frac{100}{2} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{100}{3} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{100}{5} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{100}{7} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{100}{2\times 3} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{100}{2\times5} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{100}{2\times7} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{100}{3\times5} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{100}{3\times7} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{100}{5\times7} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{100}{2\times3\times5} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{100}{2\times3\times7} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{100}{2\times5\times7} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{100}{3\times5\times7} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{100}{2\times3\times5\times7} \right \rfloor$